Trigonométrie

La trigonométrie est particulièrement utile en mécanique car elle permet souvent de déterminer un angle ou une cote manquante sur un plan. Dans cette fiche technique, nous allons voir les formules de sinus, cosinus, tangente, la conversion radian/degrés, les théorèmes de Pythagore et d’Al-Kashi, ainsi que les formules pour les appliquer dans Excel.

1) Sinus, Cosinus, Tangente :

Les dimensions d’un triangle rectangle (triangle comprenant un angle droit) sont reliées entre elles par les formules de trigonométrie sinus, cosinus et tangente.

Ainsi, dans le triangle droit ci-dessus, les relations de trigonométrie sont :

On peut ainsi en déduire que :

Remarque Attention, il est à noter que les formules de trigonométrie fonctionnent uniquement pour les triangles rectangles. Si votre triangle n’est pas rectangle, essayez de le découper en 2 triangles rectangles ou utilisez le théorème d’Al-Kashi.

2) Conversion Radian/Degré :

La mesure d’un angle en radian est égale au rapport de la longueur d’une portion de cercle, découpé par l’angle et le rayon du cercle. Le radian est une unité sans dimension

Pour convertir des radians en degrés, on utilise le cas du cercle entier (angle = 360°)

Soit, en simplifiant :   
Donc, pour convertir des degrés en radians : on multiplie la valeur en degré par Pi et on divise par 180

Pour convertir des radians en degré : on multiplie par 180° et on divise par Pi

3) Théorèmes de Pythagore et d’Al-Kashi :

Le théorème de Pythagore met en relation les longueurs d’un triangle rectangle :

Selon le théorème de Pythagore, on a la relation suivante :

Le théorème d’Al-Kashi met en relation les longueurs et les angles d’un triangle quelconque :

Selon le théorème d’Al-Kashi, on a la relation suivante :

4) Les formules Excel :

Excel est souvent utilisé dans le calcul des éléments géométriques. Il est à savoir qu’Excel fonctionne en radian dans les formules de trigonométrie. Il est donc nécessaire de convertir les valeurs d’angles.

 – Conversion radian ->degrés
Entrez la valeur en radian dans la cellule A1, la conversion en degré est =A1*180/PI()

 – Conversion degré->radian
Entrez la valeur en degré dans la cellule A1, la conversion en radian est =A1*PI()/180

– Cosinus
Entrez la valeur en degré de l’angle dans la cellule A1, pour obtenir son cosinus, tapez : =COS(A1*PI()/180)
Pour obtenir la valeur d’un angle en degré à partir des côté adjacent (cellule A1) et de l’hypoténuse (cellule A2), tapez : =ACOS(A1/A2)*180/PI()

 – Sinus
Entrez la valeur en degré de l’angle dans la cellule A1, pour obtenir son sinus, tapez : =SIN(A1*PI()/180)
Pour obtenir la valeur d’un angle en degré à partir des côté opposé (cellule A1) et de l’hypoténuse (cellule
A2), tapez : =ASIN(A1/A2)*180/PI()

– Tangente
Entrez la valeur en degré de l’angle dans la cellule A1, pour obtenir son sinus, tapez : =TAN(A1*PI()/180)
Pour obtenir la valeur d’un angle en degré à partir des côté opposé (cellule A1) et adjacent (cellule A2), tapez : =ATAN(A1/A2)*180/PI()

 – Théorème de Pythagore
Pour obtenir la valeur de l’hypoténuse à partir des 2 autres côtés (cellules A1 et A2), tapez :=RACINE(A1^2+A2^2)
Si votre Excel est en version anglaise, la formule est :=SQRT(A1^2+A2^2)

 – Théorème d’Al-Kashi
Dans la formule ci-dessus, pour obtenir la valeur C à partir des 2 autres côtés (cellules A1 et A2) et de l’angle opposé en degré (cellule A3), tapez : =RACINE(A1^2+A2^2-2*A1*A2*COS(A3*PI()/180))
Pour la version anglaise, tapez : =SQRT(A1^2+A2^2-2*A1*A2*COS(A3*PI()/180))